Интеграл (3+5*x)^4 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           4   
 |  (3 + 5*x)  dx
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} \left(5 x + 3\right)^{4}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 5 x + 3$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{u^{4}}{25}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{4}}{5}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{5}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{5}}{25}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(5 x + 3\right)^{5}}{25}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(5 x + 3\right)^{4} = 625 x^{4} + 1500 x^{3} + 1350 x^{2} + 540 x + 81$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 625 x^{4}\, dx = 625 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $125 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1500 x^{3}\, dx = 1500 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $375 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1350 x^{2}\, dx = 1350 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $450 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 540 x\, dx = 540 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $270 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 81\, dx = 81 x$

      Результат есть: $125 x^{5} + 375 x^{4} + 450 x^{3} + 270 x^{2} + 81 x$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(5 x + 3\right)^{5}}{25}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\left(5 x + 3\right)^{5}}{25}+ \mathrm{constant}$

Ответ

1301

$$1301$$

=

=

1301

$$1301$$

Численный ответ

1301.0

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              5
 |          4          (3 + 5*x) 
 | (3 + 5*x)  dx = C + ----------
 |                         25    
/                                

$$\int \left(5 x + 3\right)^{4}\, dx = C + \frac{\left(5 x + 3\right)^{5}}{25}$$

График