Интеграл (3+3*x)^4 (dx)

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x + 3$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int u^{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{4}\, du = \frac{1}{3} \int u^{4}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{5}}{15}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{15} \left(3 x + 3\right)^{5}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(3 x + 3\right)^{4} = 81 x^{4} + 324 x^{3} + 486 x^{2} + 324 x + 81$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 81 x^{4}\, dx = 81 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{81 x^{5}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 324 x^{3}\, dx = 324 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $81 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 486 x^{2}\, dx = 486 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $162 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 324 x\, dx = 324 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $162 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 81\, dx = 81 x$

      Результат есть: $\frac{81 x^{5}}{5} + 81 x^{4} + 162 x^{3} + 162 x^{2} + 81 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{81}{5} \left(x + 1\right)^{5}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{81}{5} \left(x + 1\right)^{5}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{81}{5} \left(x + 1\right)^{5}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |           4            
 |  (3 + 3*x)  dx = 2511/5
 |                        
/                         
0                         

$${{2511}\over{5}}$$

Численный ответ

502.2

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              5
 |          4          (3 + 3*x) 
 | (3 + 3*x)  dx = C + ----------
 |                         15    
/                                

$${{81\,x^5}\over{5}}+81\,x^4+162\,x^3+162\,x^2+81\,x$$