Интеграл 3*acos(x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |  3*acos(x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} 3 \operatorname{acos}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 3 \operatorname{acos}{\left (x \right )}\, dx = 3 \int \operatorname{acos}{\left (x \right )}\, dx$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{acos}{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx = - \int \frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx$

      1. пусть $u = - x^{2} + 1$.

         Тогда пусть $du = - 2 x dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \sqrt{- x^{2} + 1}$

      Таким образом, результат будет: $\sqrt{- x^{2} + 1}$

   Таким образом, результат будет: $3 x \operatorname{acos}{\left (x \right )} - 3 \sqrt{- x^{2} + 1}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $3 x \operatorname{acos}{\left (x \right )} - 3 \sqrt{- x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$3 x \operatorname{acos}{\left (x \right )} - 3 \sqrt{- x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                 
  /                 
 |                  
 |  3*acos(x) dx = 3
 |                  
/                   
0                   

$$3$$

Численный ответ

3.0

Ответ (Неопределённый)

  /                        ________              
 |                        /      2               
 | 3*acos(x) dx = C - 3*\/  1 - x   + 3*x*acos(x)
 |                                               
/                                                

$$3\,\left(x\,\arccos x-\sqrt{1-x^2}\right)$$