Интеграл 3*e^(x/3) (dx)

Вы ввели

  1        
  /        
 |         
 |     x   
 |     -   
 |     3   
 |  3*E  dx
 |         
/          
0          

$$\int_{0}^{1} 3 e^{\frac{x}{3}}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 3 e^{\frac{x}{3}}\, dx = 3 \int e^{\frac{x}{3}}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \frac{x}{3}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{3}$ и подставим $3 du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = 3 \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $3 e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $3 e^{\frac{x}{3}}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $e^{\frac{x}{3}} = e^{\frac{x}{3}}$

      2. пусть $u = \frac{x}{3}$.

         Тогда пусть $du = \frac{dx}{3}$ и подставим $3 du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = 3 \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $3 e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $3 e^{\frac{x}{3}}$

   Таким образом, результат будет: $9 e^{\frac{x}{3}}$

2. Теперь упростить:

   $9 e^{\frac{x}{3}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $9 e^{\frac{x}{3}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$9 e^{\frac{x}{3}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |     x                 
 |     -                 
 |     3              1/3
 |  3*E  dx = -9 + 9*e   
 |                       
/                        
0                        

$$3\,\left({{3\,E^{{{1}\over{3}}}}\over{\log E}}-{{3}\over{\log E}} \right)$$

Численный ответ

3.56051182577481

Ответ (Неопределённый)

  /                  
 |                   
 |    x             x
 |    -             -
 |    3             3
 | 3*E  dx = C + 9*e 
 |                   
/                    

$${{9\,E^{{{x}\over{3}}}}\over{\log E}}$$