Интеграл 3*tan(3*x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |  3*tan(3*x) dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} 3 \tan{\left (3 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 3 \tan{\left (3 x \right )}\, dx = 3 \int \tan{\left (3 x \right )}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\tan{\left (3 x \right )} = \frac{\sin{\left (3 x \right )}}{\cos{\left (3 x \right )}}$

   2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \cos{\left (3 x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - 3 \sin{\left (3 x \right )} dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{3} \log{\left (\cos{\left (3 x \right )} \right )}$

      Метод #2

      1. пусть $u = 3 x$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\sin{\left (u \right )}}{\cos{\left (u \right )}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sin{\left (u \right )}}{\cos{\left (u \right )}}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{\sin{\left (u \right )}}{\cos{\left (u \right )}}\, du$

            1. пусть $u = \cos{\left (u \right )}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left (u \right )} du$ и подставим $- du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \log{\left (\cos{\left (u \right )} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \log{\left (\cos{\left (u \right )} \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{3} \log{\left (\cos{\left (3 x \right )} \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- \log{\left (\cos{\left (3 x \right )} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left (\cos{\left (3 x \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \log{\left (\cos{\left (3 x \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                   
  /                     /       2   \ 
 |                  -log\1 - sin (3)/ 
 |  3*tan(3*x) dx = ------------------
 |                          2         
/                                     
0                                     

$$-\log \left(-\cos 3\right)$$

Численный ответ

-12.9218064365996

Ответ (Неопределённый)

  /                                 
 |                                  
 | 3*tan(3*x) dx = C - log(cos(3*x))
 |                                  
/                                   

$$\log \sec \left(3\,x\right)$$