Интеграл (3*x-7)^6 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
      /              
     |               
     |           6   
     |  (3*x - 7)  dx
     |               
    /                
    0                
    01(3x7)6dx\int_{0}^{1} \left(3 x - 7\right)^{6}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=3x7u = 3 x - 7.

        Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

        u6du\int u^{6}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          u6du=13u6du\int u^{6}\, du = \frac{1}{3} \int u^{6}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            u6du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Таким образом, результат будет: u721\frac{u^{7}}{21}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        121(3x7)7\frac{1}{21} \left(3 x - 7\right)^{7}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (3x7)6=729x610206x5+59535x4185220x3+324135x2302526x+117649\left(3 x - 7\right)^{6} = 729 x^{6} - 10206 x^{5} + 59535 x^{4} - 185220 x^{3} + 324135 x^{2} - 302526 x + 117649

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          729x6dx=729x6dx\int 729 x^{6}\, dx = 729 \int x^{6}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x6dx=x77\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}

          Таким образом, результат будет: 729x77\frac{729 x^{7}}{7}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          10206x5dx=10206x5dx\int - 10206 x^{5}\, dx = - 10206 \int x^{5}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x5dx=x66\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}

          Таким образом, результат будет: 1701x6- 1701 x^{6}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          59535x4dx=59535x4dx\int 59535 x^{4}\, dx = 59535 \int x^{4}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x4dx=x55\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}

          Таким образом, результат будет: 11907x511907 x^{5}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          185220x3dx=185220x3dx\int - 185220 x^{3}\, dx = - 185220 \int x^{3}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x3dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: 46305x4- 46305 x^{4}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          324135x2dx=324135x2dx\int 324135 x^{2}\, dx = 324135 \int x^{2}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: 108045x3108045 x^{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          302526xdx=302526xdx\int - 302526 x\, dx = - 302526 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: 151263x2- 151263 x^{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          117649dx=117649x\int 117649\, dx = 117649 x

        Результат есть: 729x771701x6+11907x546305x4+108045x3151263x2+117649x\frac{729 x^{7}}{7} - 1701 x^{6} + 11907 x^{5} - 46305 x^{4} + 108045 x^{3} - 151263 x^{2} + 117649 x

    2. Теперь упростить:

      121(3x7)7\frac{1}{21} \left(3 x - 7\right)^{7}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      121(3x7)7+constant\frac{1}{21} \left(3 x - 7\right)^{7}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    121(3x7)7+constant\frac{1}{21} \left(3 x - 7\right)^{7}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-1000000000010000000000
    Ответ [src]
      1                         
      /                         
     |                          
     |           6              
     |  (3*x - 7)  dx = 269053/7
     |                          
    /                           
    0                           
    2690537{{269053}\over{7}}
    Численный ответ [src]
    38436.1428571429
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                              
     |                              7
     |          6          (3*x - 7) 
     | (3*x - 7)  dx = C + ----------
     |                         21    
    /                                
    (3x7)721{{\left(3\,x-7\right)^7}\over{21}}