Интеграл (3*x+4)^5 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           5   
 |  (3*x + 4)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \left(3 x + 4\right)^{5}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x + 4$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int u^{5}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{5}\, du = \frac{1}{3} \int u^{5}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{6}}{18}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{18} \left(3 x + 4\right)^{6}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(3 x + 4\right)^{5} = 243 x^{5} + 1620 x^{4} + 4320 x^{3} + 5760 x^{2} + 3840 x + 1024$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 243 x^{5}\, dx = 243 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{81 x^{6}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1620 x^{4}\, dx = 1620 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $324 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4320 x^{3}\, dx = 4320 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $1080 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5760 x^{2}\, dx = 5760 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $1920 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3840 x\, dx = 3840 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $1920 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1024\, dx = 1024 x$

      Результат есть: $\frac{81 x^{6}}{2} + 324 x^{5} + 1080 x^{4} + 1920 x^{3} + 1920 x^{2} + 1024 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{18} \left(3 x + 4\right)^{6}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{18} \left(3 x + 4\right)^{6}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{18} \left(3 x + 4\right)^{6}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        
  /                        
 |                         
 |           5             
 |  (3*x + 4)  dx = 12617/2
 |                         
/                          
0                          

$${{12617}\over{2}}$$

Численный ответ

6308.5