Интеграл (3*x+2)^3 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           3   
 |  (3*x + 2)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \left(3 x + 2\right)^{3}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x + 2$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int u^{3}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{3}\, du = \frac{1}{3} \int u^{3}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{4}}{12}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{12} \left(3 x + 2\right)^{4}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(3 x + 2\right)^{3} = 27 x^{3} + 54 x^{2} + 36 x + 8$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 27 x^{3}\, dx = 27 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{27 x^{4}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 54 x^{2}\, dx = 54 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $18 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 36 x\, dx = 36 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $18 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 8\, dx = 8 x$

      Результат есть: $\frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{12} \left(3 x + 2\right)^{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{12} \left(3 x + 2\right)^{4}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{12} \left(3 x + 2\right)^{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |           3           
 |  (3*x + 2)  dx = 203/4
 |                       
/                        
0                        

$${{203}\over{4}}$$

Численный ответ

50.75

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              4
 |          3          (3*x + 2) 
 | (3*x + 2)  dx = C + ----------
 |                         12    
/                                

$${{27\,x^4}\over{4}}+18\,x^3+18\,x^2+8\,x$$