Интеграл (3*x+1)^4 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           4   
 |  (3*x + 1)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \left(3 x + 1\right)^{4}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int u^{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{4}\, du = \frac{1}{3} \int u^{4}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{5}}{15}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{15} \left(3 x + 1\right)^{5}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(3 x + 1\right)^{4} = 81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 81 x^{4}\, dx = 81 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{81 x^{5}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 108 x^{3}\, dx = 108 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $27 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 54 x^{2}\, dx = 54 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $18 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 12 x\, dx = 12 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $6 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $\frac{81 x^{5}}{5} + 27 x^{4} + 18 x^{3} + 6 x^{2} + x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{15} \left(3 x + 1\right)^{5}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{15} \left(3 x + 1\right)^{5}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{15} \left(3 x + 1\right)^{5}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |           4           
 |  (3*x + 1)  dx = 341/5
 |                       
/                        
0                        

$${{341}\over{5}}$$

Численный ответ

68.2

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              5
 |          4          (3*x + 1) 
 | (3*x + 1)  dx = C + ----------
 |                         15    
/                                

$${{81\,x^5}\over{5}}+27\,x^4+18\,x^3+6\,x^2+x$$