Интеграл (3*x+1)^19 (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |           19   
 |  (3*x + 1)   dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \left(3 x + 1\right)^{19}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x + 1$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int u^{19}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{19}\, du = \frac{1}{3} \int u^{19}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{19}\, du = \frac{u^{20}}{20}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{20}}{60}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{60} \left(3 x + 1\right)^{20}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(3 x + 1\right)^{19} = 1162261467 x^{19} + 7360989291 x^{18} + 22082967873 x^{17} + 41712272649 x^{16} + 55616363532 x^{15} + 55616363532 x^{14} + 43257171636 x^{13} + 26778249108 x^{12} + 13389124554 x^{11} + 5454828522 x^{10} + 1818276174 x^{9} + 495893502 x^{8} + 110198556 x^{7} + 19779228 x^{6} + 2825604 x^{5} + 313956 x^{4} + 26163 x^{3} + 1539 x^{2} + 57 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1162261467 x^{19}\, dx = 1162261467 \int x^{19}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1162261467 x^{20}}{20}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 7360989291 x^{18}\, dx = 7360989291 \int x^{18}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{18}\, dx = \frac{x^{19}}{19}$

         Таким образом, результат будет: $387420489 x^{19}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 22082967873 x^{17}\, dx = 22082967873 \int x^{17}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2453663097 x^{18}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 41712272649 x^{16}\, dx = 41712272649 \int x^{16}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Таким образом, результат будет: $2453663097 x^{17}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 55616363532 x^{15}\, dx = 55616363532 \int x^{15}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{13904090883 x^{16}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 55616363532 x^{14}\, dx = 55616363532 \int x^{14}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{18538787844 x^{15}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 43257171636 x^{13}\, dx = 43257171636 \int x^{13}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Таким образом, результат будет: $3089797974 x^{14}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 26778249108 x^{12}\, dx = 26778249108 \int x^{12}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Таким образом, результат будет: $2059865316 x^{13}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 13389124554 x^{11}\, dx = 13389124554 \int x^{11}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2231520759 x^{12}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5454828522 x^{10}\, dx = 5454828522 \int x^{10}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $495893502 x^{11}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1818276174 x^{9}\, dx = 1818276174 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{909138087 x^{10}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 495893502 x^{8}\, dx = 495893502 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $55099278 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 110198556 x^{7}\, dx = 110198556 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{27549639 x^{8}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 19779228 x^{6}\, dx = 19779228 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $2825604 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2825604 x^{5}\, dx = 2825604 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $470934 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 313956 x^{4}\, dx = 313956 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{313956 x^{5}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 26163 x^{3}\, dx = 26163 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{26163 x^{4}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1539 x^{2}\, dx = 1539 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $513 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 57 x\, dx = 57 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{57 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $\frac{1162261467 x^{20}}{20} + 387420489 x^{19} + \frac{2453663097 x^{18}}{2} + 2453663097 x^{17} + \frac{13904090883 x^{16}}{4} + \frac{18538787844 x^{15}}{5} + 3089797974 x^{14} + 2059865316 x^{13} + \frac{2231520759 x^{12}}{2} + 495893502 x^{11} + \frac{909138087 x^{10}}{5} + 55099278 x^{9} + \frac{27549639 x^{8}}{2} + 2825604 x^{7} + 470934 x^{6} + \frac{313956 x^{5}}{5} + \frac{26163 x^{4}}{4} + 513 x^{3} + \frac{57 x^{2}}{2} + x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{60} \left(3 x + 1\right)^{20}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{60} \left(3 x + 1\right)^{20}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{60} \left(3 x + 1\right)^{20}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                               
  /                               
 |                                
 |           19                   
 |  (3*x + 1)   dx = 73300775185/4
 |                                
/                                 
0                                 

$${{73300775185}\over{4}}$$

Численный ответ

18325193796.25

Ответ (Неопределённый)

  /                                
 |                               20
 |          19          (3*x + 1)  
 | (3*x + 1)   dx = C + -----------
 |                           60    
/                                  

$${{\left(3\,x+1\right)^{20}}\over{60}}$$