Интеграл (3*x+15)^17 (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |            17   
 |  (3*x + 15)   dx
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} \left(3 x + 15\right)^{17}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x + 15$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int u^{17}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{17}\, du = \frac{1}{3} \int u^{17}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{17}\, du = \frac{u^{18}}{18}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{18}}{54}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{54} \left(3 x + 15\right)^{18}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(3 x + 15\right)^{17} = 129140163 x^{17} + 10976913855 x^{16} + 439076554200 x^{15} + 10976913855000 x^{14} + 192095992462500 x^{13} + 2497247902012500 x^{12} + 24972479020125000 x^{11} + 196212335158125000 x^{10} + 1226327094738281250 x^{9} + 6131635473691406250 x^{8} + 24526541894765625000 x^{7} + 78038996937890625000 x^{6} + 195097492344726562500 x^{5} + 375187485278320312500 x^{4} + 535982121826171875000 x^{3} + 535982121826171875000 x^{2} + 334988826141357421875 x + 98526125335693359375$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 129140163 x^{17}\, dx = 129140163 \int x^{17}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{14348907 x^{18}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 10976913855 x^{16}\, dx = 10976913855 \int x^{16}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Таким образом, результат будет: $645700815 x^{17}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 439076554200 x^{15}\, dx = 439076554200 \int x^{15}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{54884569275 x^{16}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 10976913855000 x^{14}\, dx = 10976913855000 \int x^{14}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Таким образом, результат будет: $731794257000 x^{15}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 192095992462500 x^{13}\, dx = 192095992462500 \int x^{13}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Таким образом, результат будет: $13721142318750 x^{14}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2497247902012500 x^{12}\, dx = 2497247902012500 \int x^{12}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Таким образом, результат будет: $192095992462500 x^{13}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 24972479020125000 x^{11}\, dx = 24972479020125000 \int x^{11}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $2081039918343750 x^{12}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 196212335158125000 x^{10}\, dx = 196212335158125000 \int x^{10}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $17837485014375000 x^{11}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1226327094738281250 x^{9}\, dx = 1226327094738281250 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $122632709473828125 x^{10}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 6131635473691406250 x^{8}\, dx = 6131635473691406250 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $681292830410156250 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 24526541894765625000 x^{7}\, dx = 24526541894765625000 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $3065817736845703125 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 78038996937890625000 x^{6}\, dx = 78038996937890625000 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $11148428133984375000 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 195097492344726562500 x^{5}\, dx = 195097492344726562500 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $32516248724121093750 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 375187485278320312500 x^{4}\, dx = 375187485278320312500 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $75037497055664062500 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 535982121826171875000 x^{3}\, dx = 535982121826171875000 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $133995530456542968750 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 535982121826171875000 x^{2}\, dx = 535982121826171875000 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $178660707275390625000 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 334988826141357421875 x\, dx = 334988826141357421875 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{334988826141357421875 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 98526125335693359375\, dx = 98526125335693359375 x$

      Результат есть: $\frac{14348907 x^{18}}{2} + 645700815 x^{17} + \frac{54884569275 x^{16}}{2} + 731794257000 x^{15} + 13721142318750 x^{14} + 192095992462500 x^{13} + 2081039918343750 x^{12} + 17837485014375000 x^{11} + 122632709473828125 x^{10} + 681292830410156250 x^{9} + 3065817736845703125 x^{8} + 11148428133984375000 x^{7} + 32516248724121093750 x^{6} + 75037497055664062500 x^{5} + 133995530456542968750 x^{4} + 178660707275390625000 x^{3} + \frac{334988826141357421875 x^{2}}{2} + 98526125335693359375 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{14348907}{2} \left(x + 5\right)^{18}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{14348907}{2} \left(x + 5\right)^{18}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{14348907}{2} \left(x + 5\right)^{18}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                           
  /                                           
 |                                            
 |            17                              
 |  (3*x + 15)   dx = 1402537636861523599437/2
 |                                            
/                                             
0                                             

$${{1402537636861523599437}\over{2}}$$

Численный ответ

7.01268818430762e+20

Ответ (Неопределённый)

  /                                  
 |                                 18
 |           17          (3*x + 15)  
 | (3*x + 15)   dx = C + ------------
 |                            54     
/                                    

$${{\left(3\,x+15\right)^{18}}\over{54}}$$