Интеграл y/(1+y^2) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    y      
 |  ------ dy
 |       2   
 |  1 + y    
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{y}{y^{2} + 1}\, dy$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /         
 |          
 |   y      
 | ------ dy
 |      2   
 | 1 + y    
 |          
/           

Перепишем подинтегральную функцию

         /    2*y     \            
         |------------|            
         | 2          |            
  y      \y  + 0*y + 1/       0    
------ = -------------- + ---------
     2         2              2    
1 + y                     (-y)  + 1

или

  /           
 |            
 |   y        
 | ------ dy  
 |      2    =
 | 1 + y      
 |            
/             
  

  /               
 |                
 |     2*y        
 | ------------ dy
 |  2             
 | y  + 0*y + 1   
 |                
/                 
------------------
        2         

В интеграле

  /               
 |                
 |     2*y        
 | ------------ dy
 |  2             
 | y  + 0*y + 1   
 |                
/                 
------------------
        2         

сделаем замену

     2
u = y 

тогда

интеграл =

  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 1 + u                
 |                      
/             log(1 + u)
----------- = ----------
     2            2     

делаем обратную замену

  /                             
 |                              
 |     2*y                      
 | ------------ dy              
 |  2                           
 | y  + 0*y + 1                 
 |                      /     2\
/                    log\1 + y /
------------------ = -----------
        2                 2     

В интеграле

0

сделаем замену

v = -y

тогда

интеграл =

True

делаем обратную замену

True

Решением будет:

       /     2\
    log\1 + y /
C + -----------
         2     

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |    y         log(2)
 |  ------ dy = ------
 |       2        2   
 |  1 + y             
 |                    
/                     
0                     

$${{\log 2}\over{2}}$$

Численный ответ

0.346573590279973

Ответ (Неопределённый)

  /                           
 |                    /     2\
 |   y             log\1 + y /
 | ------ dy = C + -----------
 |      2               2     
 | 1 + y                      
 |                            
/                             

$${{\log \left(y^2+1\right)}\over{2}}$$