Интеграл y*e^(-y) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |     -y   
 |  y*E   dy
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} e^{- y} y\, dy$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - y$.

      Тогда пусть $du = - dy$ и подставим $du$:

      $\int u e^{u}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- y e^{- y} - e^{- y}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{- y} y = y e^{- y}$

   2. пусть $u = - y$.

      Тогда пусть $du = - dy$ и подставим $du$:

      $\int u e^{u}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- y e^{- y} - e^{- y}$

2. Теперь упростить:

   $- \left(y + 1\right) e^{- y}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \left(y + 1\right) e^{- y}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \left(y + 1\right) e^{- y}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |     -y             -1
 |  y*E   dy = 1 - 2*e  
 |                      
/                       
0                       

$${{1}\over{\left(\log E\right)^2}}-{{\log E+1}\over{E\,\left(\log E \right)^2}}$$

Численный ответ

0.264241117657115

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                           
 |    -y           -y      -y
 | y*E   dy = C - e   - y*e  
 |                           
/                            

$$-{{\left(\log E\,y+1\right)\,e^ {- \log E\,y }}\over{\left(\log E \right)^2}}$$