Интеграл y*log(y) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |  y*log(y) dy
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} y \log{\left (y \right )}\, dy$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (y \right )} = \log{\left (y \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (y \right )} = y$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (y \right )} = \frac{1}{y}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (y \right )}$:

   1. Интеграл $y^{n}$ есть $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{y}{2}\, dy = \frac{1}{2} \int y\, dy$

   1. Интеграл $y^{n}$ есть $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{y^{2}}{4}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{y^{2}}{4} \left(2 \log{\left (y \right )} - 1\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{y^{2}}{4} \left(2 \log{\left (y \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{y^{2}}{4} \left(2 \log{\left (y \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |  y*log(y) dy = -1/4
 |                    
/                     
0                     

$$-{{1}\over{4}}$$

Численный ответ

-0.25

Ответ (Неопределённый)

  /                   2    2       
 |                   y    y *log(y)
 | y*log(y) dy = C - -- + ---------
 |                   4        2    
/                                  

$${{y^2\,\log y}\over{2}}-{{y^2}\over{4}}$$