Интеграл y*log(y-1) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |  y*log(y - 1) dy
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} y \log{\left (y - 1 \right )}\, dy$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (y \right )} = \log{\left (y - 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (y \right )} = y$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (y \right )} = \frac{1}{y - 1}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (y \right )}$:

   1. Интеграл $y^{n}$ есть $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{y^{2}}{2 y - 2}\, dy = \frac{1}{2} \int \frac{y^{2}}{y - 1}\, dy$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{y^{2}}{y - 1} = y + 1 + \frac{1}{y - 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $y^{n}$ есть $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dy = y$

      1. пусть $u = y - 1$.

         Тогда пусть $du = dy$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (y - 1 \right )}$

      Результат есть: $\frac{y^{2}}{2} + y + \log{\left (y - 1 \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \log{\left (y - 1 \right )}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{y^{2}}{2} \log{\left (y - 1 \right )} - \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \log{\left (y - 1 \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{y^{2}}{2} \log{\left (y - 1 \right )} - \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \log{\left (y - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{y^{2}}{2} \log{\left (y - 1 \right )} - \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \log{\left (y - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                             
  /                             
 |                      3   pi*I
 |  y*log(y - 1) dy = - - + ----
 |                      4    2  
/                               
0                               

$${{2\,\log \left(-1\right)-3}\over{4}}$$

Численный ответ

(-0.75 + 1.5707963267949j)

Ответ (Неопределённый)

  /                                         2    2           
 |                       y   log(-1 + y)   y    y *log(y - 1)
 | y*log(y - 1) dy = C - - - ----------- - -- + -------------
 |                       2        2        4          2      
/                                                            

$${{\log \left(y-1\right)\,y^2}\over{2}}-{{{{y^2+2\,y}\over{2}}+\log \left(y-1\right)}\over{2}}$$