Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл y*log(y-1) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                
  /                
 |                 
 |  y*log(y - 1) dy
 |                 
/                  
0
    ∫01ylog⁡(y−1) dy\int_{0}^{1} y \log{\left (y - 1 \right )}\, dy
    Подробное решение

    1. Используем интегрирование по частям:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(y)=log⁡(y−1)u{\left (y \right )} = \log{\left (y - 1 \right )} и пусть dv⁡(y)=y\operatorname{dv}{\left (y \right )} = y dx.

      Затем du⁡(y)=1y−1\operatorname{du}{\left (y \right )} = \frac{1}{y - 1} dx.

      Чтобы найти v(y)v{\left (y \right )}:

      1. Интеграл yny^{n} есть yn+1n+1\frac{y^{n + 1}}{n + 1}:

        ∫y dy=y22\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      ∫y22y−2 dy=12∫y2y−1 dy\int \frac{y^{2}}{2 y - 2}\, dy = \frac{1}{2} \int \frac{y^{2}}{y - 1}\, dy

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        y2y−1=y+1+1y−1\frac{y^{2}}{y - 1} = y + 1 + \frac{1}{y - 1}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл yny^{n} есть yn+1n+1\frac{y^{n + 1}}{n + 1}:

          ∫y dy=y22\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          ∫1 dy=y\int 1\, dy = y

        1. пусть u=y−1u = y - 1.

          Тогда пусть du=dydu = dy и подставим dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log⁡(u)\log{\left (u \right )}.

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          log⁡(y−1)\log{\left (y - 1 \right )}

        Результат есть: y22+y+log⁡(y−1)\frac{y^{2}}{2} + y + \log{\left (y - 1 \right )}

      Таким образом, результат будет: y24+y2+12log⁡(y−1)\frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \log{\left (y - 1 \right )}

    3. Теперь упростить:

      y22log⁡(y−1)−y24−y2−12log⁡(y−1)\frac{y^{2}}{2} \log{\left (y - 1 \right )} - \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \log{\left (y - 1 \right )}

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      y22log⁡(y−1)−y24−y2−12log⁡(y−1)+constant\frac{y^{2}}{2} \log{\left (y - 1 \right )} - \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \log{\left (y - 1 \right )}+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    y22log⁡(y−1)−y24−y2−12log⁡(y−1)+constant\frac{y^{2}}{2} \log{\left (y - 1 \right )} - \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \log{\left (y - 1 \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-100100
    Ответ [src]
      1                             
  /                             
 |                      3   pi*I
 |  y*log(y - 1) dy = - - + ----
 |                      4    2  
/                               
0
    2 log⁡(−1)−34{{2\,\log \left(-1\right)-3}\over{4}}
    Численный ответ [src]
    (-0.75 + 1.5707963267949j)
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                         2    2           
 |                       y   log(-1 + y)   y    y *log(y - 1)
 | y*log(y - 1) dy = C - - - ----------- - -- + -------------
 |                       2        2        4          2      
/
    log⁡(y−1) y22−y2+2 y2+log⁡(y−1)2{{\log \left(y-1\right)\,y^2}\over{2}}-{{{{y^2+2\,y}\over{2}}+\log \left(y-1\right)}\over{2}}
    Упростить