Интеграл y*log(x) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |  y*log(x) dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} y \log{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int y \log{\left (x \right )}\, dx = y \int \log{\left (x \right )}\, dx$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Таким образом, результат будет: $y \left(x \log{\left (x \right )} - x\right)$

2. Теперь упростить:

   $x y \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x y \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x y \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                 
  /                 
 |                  
 |  y*log(x) dx = -y
 |                  
/                   
0                   

$$-y$$

Ответ (Неопределённый)

  /                                   
 |                                    
 | y*log(x) dx = C + y*(-x + x*log(x))
 |                                    
/                                     

$$\left(x\,\log x-x\right)\,y$$