Интеграл x/(2+x^2) (dx)

Подробное решение

Дан интеграл:

  /         
 |          
 |   x      
 | ------ dx
 |      2   
 | 2 + x    
 |          
/           

Перепишем подинтегральную функцию

         /    2*x     \                   
         |------------|                   
         | 2          |                   
  x      \x  + 0*x + 2/          0        
------ = -------------- + ----------------
     2         2                     2    
2 + x                     /   ___   \     
                          |-\/ 2    |     
                          |-------*x|  + 1
                          \   2     /     

или

  /           
 |            
 |   x        
 | ------ dx  
 |      2    =
 | 2 + x      
 |            
/             
  

  /               
 |                
 |     2*x        
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 0*x + 2   
 |                
/                 
------------------
        2         

В интеграле

  /               
 |                
 |     2*x        
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 0*x + 2   
 |                
/                 
------------------
        2         

сделаем замену

     2
u = x 

тогда

интеграл =

  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 2 + u                
 |                      
/             log(2 + u)
----------- = ----------
     2            2     

делаем обратную замену

  /                             
 |                              
 |     2*x                      
 | ------------ dx              
 |  2                           
 | x  + 0*x + 2                 
 |                      /     2\
/                    log\2 + x /
------------------ = -----------
        2                 2     

В интеграле

0

сделаем замену

         ___ 
    -x*\/ 2  
v = ---------
        2    

тогда

интеграл =

True

делаем обратную замену

True

Решением будет:

       /     2\
    log\2 + x /
C + -----------
         2     

Ответ

  1                            
  /                            
 |                             
 |    x         log(3)   log(2)
 |  ------ dx = ------ - ------
 |       2        2        2   
 |  2 + x                      
 |                             
/                              
0                              

$${{\log 3}\over{2}}-{{\log 2}\over{2}}$$

Численный ответ

0.202732554054082

Ответ (Неопределённый)

  /                           
 |                    /     2\
 |   x             log\2 + x /
 | ------ dx = C + -----------
 |      2               2     
 | 2 + x                      
 |                            
/                             

$${{\log \left(x^2+2\right)}\over{2}}$$