Интеграл x/2*sin(x) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |  x          
 |  -*sin(x) dx
 |  2          
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{2} \sin{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \frac{x}{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{2} \sin{\left (x \right )} = \frac{x}{2} \sin{\left (x \right )}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{2} \sin{\left (x \right )}\, dx = \frac{1}{2} \int x \sin{\left (x \right )}\, dx$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \cos{\left (x \right )}\, dx = - \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \sin{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{x}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{x}{2} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                              
  /                              
 |                               
 |  x             sin(1)   cos(1)
 |  -*sin(x) dx = ------ - ------
 |  2               2        2   
 |                               
/                                
0                                

$${{\sin 1-\cos 1}\over{2}}$$

Численный ответ

0.150584339469878

Ответ (Неопределённый)

  /                                   
 |                                    
 | x                 sin(x)   x*cos(x)
 | -*sin(x) dx = C + ------ - --------
 | 2                   2         2    
 |                                    
/                                     

$${{\sin x-x\,\cos x}\over{2}}$$