Интеграл x/exp(2*x) (dx)

Вы ввели

  1        
  /        
 |         
 |   x     
 |  ---- dx
 |   2*x   
 |  e      
 |         
/          
0          

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{e^{2 x}}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x}{e^{2 x}} = x e^{- 2 x}$

2. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{- 2 x}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. пусть $u = - 2 x$.

      Тогда пусть $du = - 2 dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = - \frac{1}{2} \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{1}{2} e^{- 2 x}\, dx = - \frac{1}{2} \int e^{- 2 x}\, dx$

   1. пусть $u = - 2 x$.

      Тогда пусть $du = - 2 dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = - \frac{1}{2} \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} e^{- 2 x}$

4. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{4} \left(2 x + 1\right) e^{- 2 x}$

5. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{4} \left(2 x + 1\right) e^{- 2 x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{4} \left(2 x + 1\right) e^{- 2 x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                   -2
 |   x        1   3*e  
 |  ---- dx = - - -----
 |   2*x      4     4  
 |  e                  
 |                     
/                      
0                      

$${{1}\over{4}}-{{3\,e^ {- 2 }}\over{4}}$$

Численный ответ

0.14849853757254

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                -2*x      -2*x
 |  x            e       x*e    
 | ---- dx = C - ----- - -------
 |  2*x            4        2   
 | e                            
 |                              
/                               

$$-{{\left(2\,x+1\right)\,e^ {- 2\,x }}\over{4}}$$