Интеграл x/e^x (dx)

Вы ввели

  1      
  /      
 |       
 |  x    
 |  -- dx
 |   x   
 |  E    
 |       
/        
0        

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{e^{x}}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x}{e^{x}} = x e^{- x}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int u e^{u}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x e^{- x} - e^{- x}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{- x}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - e^{- x}\, dx = - \int e^{- x}\, dx$

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

      Таким образом, результат будет: $e^{- x}$

3. Теперь упростить:

   $- \left(x + 1\right) e^{- x}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \left(x + 1\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \left(x + 1\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                  
  /                  
 |                   
 |  x              -1
 |  -- dx = 1 - 2*e  
 |   x               
 |  E                
 |                   
/                    
0                    

$${{1}\over{\left(\log E\right)^2}}-{{\log E+1}\over{E\,\left(\log E \right)^2}}$$

Численный ответ

0.264241117657115

Ответ (Неопределённый)

  /                       
 |                        
 | x            -x      -x
 | -- dx = C - e   - x*e  
 |  x                     
 | E                      
 |                        
/                         

$$-{{\left(\log E\,x+1\right)\,e^ {- \log E\,x }}\over{\left(\log E \right)^2}}$$