Интеграл x/(e^x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1      
      /      
     |       
     |  x    
     |  -- dx
     |   x   
     |  e    
     |       
    /        
    0        
    01xexdx\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{e^{x}}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      xex=xex\frac{x}{e^{x}} = x e^{- x}

    2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=xu = - x.

        Тогда пусть du=dxdu = - dx и подставим dudu:

        ueudu\int u e^{u}\, du

        1. Используем интегрирование по частям:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          пусть u(u)=uu{\left (u \right )} = u и пусть dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u} dx.

          Затем du(u)=1\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1 dx.

          Чтобы найти v(u)v{\left (u \right )}:

          1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

          eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        xexex- x e^{- x} - e^{- x}

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        пусть u(x)=xu{\left (x \right )} = x и пусть dv(x)=ex\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{- x} dx.

        Затем du(x)=1\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1 dx.

        Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

        1. пусть u=xu = - x.

          Тогда пусть du=dxdu = - dx и подставим du- du:

          eudu\int e^{u}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            eudu=eudu\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

              eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Таким образом, результат будет: eu- e^{u}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          ex- e^{- x}

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        exdx=exdx\int - e^{- x}\, dx = - \int e^{- x}\, dx

        1. пусть u=xu = - x.

          Тогда пусть du=dxdu = - dx и подставим du- du:

          eudu\int e^{u}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            eudu=eudu\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

              eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Таким образом, результат будет: eu- e^{u}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          ex- e^{- x}

        Таким образом, результат будет: exe^{- x}

    3. Теперь упростить:

      (x+1)ex- \left(x + 1\right) e^{- x}

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      (x+1)ex+constant- \left(x + 1\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    (x+1)ex+constant- \left(x + 1\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-2
    Ответ [src]
           -1
    1 - 2*e  
    12e1 - \frac{2}{e}
    =
    =
           -1
    1 - 2*e  
    12e1 - \frac{2}{e}
    Численный ответ [src]
    0.264241117657115
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                        
     |                         
     | x                     -x
     | -- dx = C + (-1 - x)*e  
     |  x                      
     | e                       
     |                         
    /                          
    xexdx=C+(x1)ex\int \frac{x}{e^{x}}\, dx = C + \left(- x - 1\right) e^{- x}
    График
    Интеграл x/(e^x) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/b/89/c6488c054e49bc5591b4e06419fcc.png