Интеграл x/sqrt(x) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |    x     
 |  ----- dx
 |    ___   
 |  \/ x    
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sqrt{x}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ и подставим $2 du$:

      $\int u^{2}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2 u^{3}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$

   2. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1               
  /               
 |                
 |    x           
 |  ----- dx = 2/3
 |    ___         
 |  \/ x          
 |                
/                 
0                 

$${{2}\over{3}}$$

Численный ответ

0.666666666666667

Ответ (Неопределённый)

  /                     
 |                   3/2
 |   x            2*x   
 | ----- dx = C + ------
 |   ___            3   
 | \/ x                 
 |                      
/                       

$${{2\,x^{{{3}\over{2}}}}\over{3}}$$