Интеграл x/(1-x^4) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    x      
 |  ------ dx
 |       4   
 |  1 - x    
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{- x^{4} + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x}{- x^{4} + 1} = \frac{x}{2 x^{2} + 2} - \frac{1}{4 x + 4} - \frac{1}{4 x - 4}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{2 x^{2} + 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$

      1. пусть $u = x^{2} + 1$.

         Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \log{\left (x^{2} + 1 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{4 x + 4}\, dx = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \log{\left (x + 1 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{4 x - 4}\, dx = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \log{\left (x - 1 \right )}$

   Результат есть: $- \frac{1}{4} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{4} \log{\left (x^{2} + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{4} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{4} \log{\left (x^{2} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{4} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{4} \log{\left (x^{2} + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |    x              pi*I
 |  ------ dx = oo + ----
 |       4            4  
 |  1 - x                
 |                       
/                        
0                        

$${\it \%a}$$

Численный ответ

11.0227391965541

Ответ (Неопределённый)

  /                                                      
 |                                               /     2\
 |   x             log(1 + x)   log(-1 + x)   log\1 + x /
 | ------ dx = C - ---------- - ----------- + -----------
 |      4              4             4             4     
 | 1 - x                                                 
 |                                                       
/                                                        

$$\int \frac{x}{- x^{4} + 1}\, dx = C - \frac{1}{4} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{4} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{4} \log{\left (x^{2} + 1 \right )}$$