Интеграл x/(1-x)^2 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     x       
 |  -------- dx
 |         2   
 |  (1 - x)    
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{\left(- x + 1\right)^{2}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\left(- x + 1\right)^{2}} = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 1 \right )}$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{x - 1}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}$

         2. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}$

            None

      Результат есть: $\log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{x - 1}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\left(- x + 1\right)^{2}} = \frac{x}{x^{2} - 2 x + 1}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 1 \right )}$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{x - 1}$

      Результат есть: $\log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{x - 1}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{x - 1} \left(\left(x - 1\right) \log{\left (x - 1 \right )} - 1\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{x - 1} \left(\left(x - 1\right) \log{\left (x - 1 \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x - 1} \left(\left(x - 1\right) \log{\left (x - 1 \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |     x                    
 |  -------- dx = -oo - pi*I
 |         2                
 |  (1 - x)                 
 |                          
/                           
0                           

$${\it \%a}$$

Численный ответ

1.38019561125665e+19

Ответ (Неопределённый)

  /                                      
 |                                       
 |    x                1                 
 | -------- dx = C - ------ + log(-1 + x)
 |        2          -1 + x              
 | (1 - x)                               
 |                                       
/                                        

$$\log \left(x-1\right)-{{1}\over{x-1}}$$