Интеграл x/(1-x)^3 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     x       
 |  -------- dx
 |         3   
 |  (1 - x)    
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{\left(- x + 1\right)^{3}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\left(- x + 1\right)^{3}} = - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\, dx = - \int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = x - 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{x - 1}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}$

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}$

               None

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{x - 1}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\, dx = - \int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\, dx$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

      Результат есть: $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\left(- x + 1\right)^{3}} = \frac{x}{- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1} = - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\, dx = - \int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\, dx$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{x - 1}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{x - 1}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\, dx = - \int \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}}\, dx$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

      Результат есть: $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x - \frac{1}{2}}{x^{2} - 2 x + 1}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x - \frac{1}{2}}{x^{2} - 2 x + 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x - \frac{1}{2}}{x^{2} - 2 x + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                 
  /                 
 |                  
 |     x            
 |  -------- dx = oo
 |         3        
 |  (1 - x)         
 |                  
/                   
0                   

$${\it \%a}$$

Численный ответ

9.16570389659885e+37

Ответ (Неопределённый)

  /                                      
 |                                       
 |    x                1           1     
 | -------- dx = C + ------ + -----------
 |        3          -1 + x             2
 | (1 - x)                    2*(-1 + x) 
 |                                       
/                                        

$${{2\,x-1}\over{2\,x^2-4\,x+2}}$$