Интеграл x/(1+x)^3 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     x       
 |  -------- dx
 |         3   
 |  (1 + x)    
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{\left(x + 1\right)^{3}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\left(x + 1\right)^{3}} = \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{x + 1}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1}$

         2. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

            None

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}}\, dx = - \int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}}\, dx$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}$

      Результат есть: $- \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\left(x + 1\right)^{3}} = \frac{x}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1} = \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{x + 1}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}}\, dx = - \int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}}\, dx$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}$

      Результат есть: $- \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x - 2 \left(x + 1\right)^{2} + 1}{2 \left(x + 1\right)^{3}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x - 2 \left(x + 1\right)^{2} + 1}{2 \left(x + 1\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x - 2 \left(x + 1\right)^{2} + 1}{2 \left(x + 1\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                  
  /                  
 |                   
 |     x             
 |  -------- dx = 1/8
 |         3         
 |  (1 + x)          
 |                   
/                    
0                    

$${{1}\over{8}}$$

Численный ответ

0.125

Ответ (Неопределённый)

  /                                    
 |                                     
 |    x                  1          1  
 | -------- dx = C + ---------- - -----
 |        3                   2   1 + x
 | (1 + x)           2*(1 + x)         
 |                                     
/                                      

$$-{{2\,x+1}\over{2\,x^2+4\,x+2}}$$