Интеграл x/(3+x) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |    x     
 |  ----- dx
 |  3 + x   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{x + 3}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x}{x + 3} = 1 - \frac{3}{x + 3}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{3}{x + 3}\, dx = - 3 \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

      1. пусть $u = x + 3$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 3 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 3 \log{\left (x + 3 \right )}$

   Результат есть: $x - 3 \log{\left (x + 3 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x - 3 \log{\left (x + 3 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x - 3 \log{\left (x + 3 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                   
  /                                   
 |                                    
 |    x                               
 |  ----- dx = 1 - 3*log(4) + 3*log(3)
 |  3 + x                             
 |                                    
/                                     
0                                     

$$-3\,\log 4+3\,\log 3+1$$

Численный ответ

0.136953782644657

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                                
 |   x                            
 | ----- dx = C + x - 3*log(3 + x)
 | 3 + x                          
 |                                
/                                 

$$x-3\,\log \left(x+3\right)$$