Интеграл x/(x-2)^2 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     x       
 |  -------- dx
 |         2   
 |  (x - 2)    
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{\left(x - 2\right)^{2}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\left(x - 2\right)^{2}} = \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = x - 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 2 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = x - 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{x - 2}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 4}$

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} = \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}$

               None

         Таким образом, результат будет: $- \frac{2}{x - 2}$

      Результат есть: $\log{\left (x - 2 \right )} - \frac{2}{x - 2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\left(x - 2\right)^{2}} = \frac{x}{x^{2} - 4 x + 4}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{x^{2} - 4 x + 4} = \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = x - 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 2 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}\, dx$

         1. пусть $u = x - 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{x - 2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{2}{x - 2}$

      Результат есть: $\log{\left (x - 2 \right )} - \frac{2}{x - 2}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{x - 2} \left(\left(x - 2\right) \log{\left (x - 2 \right )} - 2\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{x - 2} \left(\left(x - 2\right) \log{\left (x - 2 \right )} - 2\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x - 2} \left(\left(x - 2\right) \log{\left (x - 2 \right )} - 2\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |     x                    
 |  -------- dx = 1 - log(2)
 |         2                
 |  (x - 2)                 
 |                          
/                           
0                           

$$1-\log 2$$

Численный ответ

0.306852819440055

Ответ (Неопределённый)

  /                                      
 |                                       
 |    x                2                 
 | -------- dx = C - ------ + log(-2 + x)
 |        2          -2 + x              
 | (x - 2)                               
 |                                       
/                                        

$$\log \left(x-2\right)-{{2}\over{x-2}}$$