Интеграл x/(x-3)^3 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     x       
 |  -------- dx
 |         3   
 |  (x - 3)    
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{\left(x - 3\right)^{3}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\left(x - 3\right)^{3}} = \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = x - 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{x - 3}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}} = \frac{1}{x^{2} - 6 x + 9}$

         2. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x^{2} - 6 x + 9} = \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}}$

            None

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}}\, dx = 3 \int \frac{1}{\left(x - 3\right)^{3}}\, dx$

         1. пусть $u = x - 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{2 \left(x - 3\right)^{2}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{3}{2 \left(x - 3\right)^{2}}$

      Результат есть: $- \frac{1}{x - 3} - \frac{3}{2 \left(x - 3\right)^{2}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\left(x - 3\right)^{3}} = \frac{x}{x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27} = \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = x - 3$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{x - 3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{\left(x - 3\right)^{3}}\, dx = 3 \int \frac{1}{\left(x - 3\right)^{3}}\, dx$

         1. пусть $u = x - 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{2 \left(x - 3\right)^{2}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{3}{2 \left(x - 3\right)^{2}}$

      Результат есть: $- \frac{1}{x - 3} - \frac{3}{2 \left(x - 3\right)^{2}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{- x + \frac{3}{2}}{x^{2} - 6 x + 9}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{- x + \frac{3}{2}}{x^{2} - 6 x + 9}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{- x + \frac{3}{2}}{x^{2} - 6 x + 9}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |     x               
 |  -------- dx = -1/24
 |         3           
 |  (x - 3)            
 |                     
/                      
0                      

$$-{{1}\over{24}}$$

Численный ответ

-0.0416666666666667

Ответ (Неопределённый)

  /                                      
 |                                       
 |    x                1           3     
 | -------- dx = C - ------ - -----------
 |        3          -3 + x             2
 | (x - 3)                    2*(-3 + x) 
 |                                       
/                                        

$$-{{2\,x-3}\over{2\,x^2-12\,x+18}}$$