Интеграл x/(x+2)^5 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     x       
 |  -------- dx
 |         5   
 |  (x + 2)    
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{\left(x + 2\right)^{5}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\left(x + 2\right)^{5}} = \frac{1}{\left(x + 2\right)^{4}} - \frac{2}{\left(x + 2\right)^{5}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = x + 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{4}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{3 \left(x + 2\right)^{3}}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{\left(x + 2\right)^{4}} = \frac{1}{x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16}$

         2. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16} = \frac{1}{\left(x + 2\right)^{4}}$

            None

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{2}{\left(x + 2\right)^{5}}\, dx = - 2 \int \frac{1}{\left(x + 2\right)^{5}}\, dx$

         1. пусть $u = x + 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{4 \left(x + 2\right)^{4}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2 \left(x + 2\right)^{4}}$

      Результат есть: $- \frac{1}{3 \left(x + 2\right)^{3}} + \frac{1}{2 \left(x + 2\right)^{4}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\left(x + 2\right)^{5}} = \frac{x}{x^{5} + 10 x^{4} + 40 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x + 32}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{x^{5} + 10 x^{4} + 40 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x + 32} = \frac{1}{\left(x + 2\right)^{4}} - \frac{2}{\left(x + 2\right)^{5}}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = x + 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u^{4}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{3 \left(x + 2\right)^{3}}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{2}{\left(x + 2\right)^{5}}\, dx = - 2 \int \frac{1}{\left(x + 2\right)^{5}}\, dx$

         1. пусть $u = x + 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{4 \left(x + 2\right)^{4}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2 \left(x + 2\right)^{4}}$

      Результат есть: $- \frac{1}{3 \left(x + 2\right)^{3}} + \frac{1}{2 \left(x + 2\right)^{4}}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{2 x + 1}{6 \left(x + 2\right)^{4}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{2 x + 1}{6 \left(x + 2\right)^{4}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{2 x + 1}{6 \left(x + 2\right)^{4}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |     x           11 
 |  -------- dx = ----
 |         5      2592
 |  (x + 2)           
 |                    
/                     
0                     

$${{11}\over{2592}}$$

Численный ответ

0.00424382716049383

Ответ (Неопределённый)

  /                                         
 |                                          
 |    x                  1            1     
 | -------- dx = C + ---------- - ----------
 |        5                   4            3
 | (x + 2)           2*(2 + x)    3*(2 + x) 
 |                                          
/                                           

$$-{{2\,x+1}\over{6\,x^4+48\,x^3+144\,x^2+192\,x+96}}$$