Интеграл x/(x+1) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |    x     
 |  ----- dx
 |  x + 1   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{x + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x + 1 \right )}$

   Результат есть: $x - \log{\left (x + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x - \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x - \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |    x                  
 |  ----- dx = 1 - log(2)
 |  x + 1                
 |                       
/                        
0                        

$$1-\log 2$$

Численный ответ

0.306852819440055

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |   x                          
 | ----- dx = C + x - log(1 + x)
 | x + 1                        
 |                              
/                               

$$x-\log \left(x+1\right)$$