Интеграл x/(x+1)^2 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     x       
 |  -------- dx
 |         2   
 |  (x + 1)    
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\, dx = - \int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = x + 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{x + 1}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1}$

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

               None

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{x + 1}$

      Результат есть: $\log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{x + 1}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{x}{x^{2} + 2 x + 1}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\, dx = - \int \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\, dx$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{x + 1}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{x + 1}$

      Результат есть: $\log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{x + 1}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{x + 1} \left(\left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )} + 1\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{x + 1} \left(\left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )} + 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x + 1} \left(\left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )} + 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                            
  /                            
 |                             
 |     x                       
 |  -------- dx = -1/2 + log(2)
 |         2                   
 |  (x + 1)                    
 |                             
/                              
0                              

$$\log 2-{{1}\over{2}}$$

Численный ответ

0.193147180559945

Ответ (Неопределённый)

  /                                    
 |                                     
 |    x                1               
 | -------- dx = C + ----- + log(1 + x)
 |        2          1 + x             
 | (x + 1)                             
 |                                     
/                                      

$$\log \left(x+1\right)+{{1}\over{x+1}}$$