Интеграл x/(x^3+27) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     x      
 |  ------- dx
 |   3        
 |  x  + 27   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{3} + 27}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x}{x^{3} + 27} = \frac{x + 3}{9 x^{2} - 27 x + 81} - \frac{1}{9 x + 27}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x + 3}{9 x^{2} - 27 x + 81}\, dx = \frac{1}{9} \int \frac{x + 3}{x^{2} - 3 x + 9}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x + 3}{x^{2} - 3 x + 9} = \frac{x}{x^{2} - 3 x + 9} + \frac{3}{x^{2} - 3 x + 9}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - 3 x + 9 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{9} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3}{x^{2} - 3 x + 9}\, dx = 3 \int \frac{1}{x^{2} - 3 x + 9}\, dx$

            1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

               Но интеграл

               $\frac{2 \sqrt{3}}{9} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{9} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{9} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - 3 x + 9 \right )} + \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{9} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{18} \log{\left (x^{2} - 3 x + 9 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{9} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{9} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{9 x + 27}\, dx = - \frac{1}{9} \int \frac{1}{x + 3}\, dx$

      1. пусть $u = x + 3$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 3 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{9} \log{\left (x + 3 \right )}$

   Результат есть: $- \frac{1}{9} \log{\left (x + 3 \right )} + \frac{1}{18} \log{\left (x^{2} - 3 x + 9 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{9} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{9} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

3. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{9} \log{\left (x + 3 \right )} + \frac{1}{18} \log{\left (x^{2} - 3 x + 9 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{9} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{9} \left(2 x - 3\right) \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{9} \log{\left (x + 3 \right )} + \frac{1}{18} \log{\left (x^{2} - 3 x + 9 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{9} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{9} \left(2 x - 3\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{9} \log{\left (x + 3 \right )} + \frac{1}{18} \log{\left (x^{2} - 3 x + 9 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{9} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{9} \left(2 x - 3\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                              /  ___\           
  /                                                      ___     |\/ 3 |           
 |                                                     \/ 3 *atan|-----|        ___
 |     x           log(4)   log(9)   log(3)   log(7)             \  9  /   pi*\/ 3 
 |  ------- dx = - ------ - ------ + ------ + ------ - ----------------- + --------
 |   3               9        18       9        18             9              54   
 |  x  + 27                                                                        
 |                                                                                 
/                                                                                  
0                                                                                  

$$-{{\arctan \left({{1}\over{3^{{{3}\over{2}}}}}\right)}\over{3^{{{3 }\over{2}}}}}-{{\log 9}\over{18}}+{{\log 7}\over{18}}-{{\log 4 }\over{9}}+{{\log 3}\over{9}}+{{\pi}\over{2\,3^{{{5}\over{2}}}}}$$

Численный ответ

0.0182503545232341