Интеграл x/(x^3+1) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    x      
 |  ------ dx
 |   3       
 |  x  + 1   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{3} + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x}{x^{3} + 1} = \frac{x + 1}{3 x^{2} - 3 x + 3} - \frac{1}{3 x + 3}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x + 1}{3 x^{2} - 3 x + 3}\, dx = \frac{1}{3} \int \frac{x + 1}{x^{2} - x + 1}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x + 1}{x^{2} - x + 1} = \frac{x}{x^{2} - x + 1} + \frac{1}{x^{2} - x + 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{6} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{3 x + 3}\, dx = - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \log{\left (x + 1 \right )}$

   Результат есть: $- \frac{1}{3} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

3. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{3} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x - 1\right) \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{3} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x - 1\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{3} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{6} \log{\left (x^{2} - x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x - 1\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                
  /                                
 |                              ___
 |    x           log(2)   pi*\/ 3 
 |  ------ dx = - ------ + --------
 |   3              3         9    
 |  x  + 1                         
 |                                 
/                                  
0                                  

$${{\pi}\over{2\,3^{{{3}\over{2}}}}}-{{6\,\log 2-\sqrt{3}\,\pi}\over{ 18}}$$

Численный ответ

0.373550727891424

Ответ (Неопределённый)

                                                            /    ___         ___\
  /                                                 ___     |  \/ 3    2*x*\/ 3 |
 |                                 /     2    \   \/ 3 *atan|- ----- + ---------|
 |   x             log(1 + x)   log\1 + x  - x/             \    3         3    /
 | ------ dx = C - ---------- + --------------- + -------------------------------
 |  3                  3               6                         3               
 | x  + 1                                                                        
 |                                                                               
/                                                                                

$${{\log \left(x^2-x+1\right)}\over{6}}+{{\arctan \left({{2\,x-1 }\over{\sqrt{3}}}\right)}\over{\sqrt{3}}}-{{\log \left(x+1\right) }\over{3}}$$