Интеграл x/(x^3+8) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    x      
 |  ------ dx
 |   3       
 |  x  + 8   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{3} + 8}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x}{x^{3} + 8} = \frac{x + 2}{6 x^{2} - 12 x + 24} - \frac{1}{6 x + 12}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x + 2}{6 x^{2} - 12 x + 24}\, dx = \frac{1}{6} \int \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 4}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 4} = \frac{x}{x^{2} - 2 x + 4} + \frac{2}{x^{2} - 2 x + 4}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{2}{x^{2} - 2 x + 4}\, dx = 2 \int \frac{1}{x^{2} - 2 x + 4}\, dx$

            1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

               Но интеграл

               $\frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

         Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} + \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{12} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{6} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{6 x + 12}\, dx = - \frac{1}{6} \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

      1. пусть $u = x + 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 2 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{6} \log{\left (x + 2 \right )}$

   Результат есть: $- \frac{1}{6} \log{\left (x + 2 \right )} + \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{6} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}$

3. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{6} \log{\left (x + 2 \right )} + \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{6} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(x - 1\right) \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{6} \log{\left (x + 2 \right )} + \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{6} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(x - 1\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{6} \log{\left (x + 2 \right )} + \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} - 2 x + 4 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{6} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(x - 1\right) \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                  
  /                                                  
 |                                                ___
 |    x           log(3)   log(4)   log(2)   pi*\/ 3 
 |  ------ dx = - ------ - ------ + ------ + --------
 |   3              12       12       6         36   
 |  x  + 8                                           
 |                                                   
/                                                    
0                                                    

$$-{{\log 4}\over{12}}-{{\log 3}\over{12}}+{{\log 2}\over{6}}+{{\pi }\over{4\,3^{{{3}\over{2}}}}}$$

Численный ответ

0.0595989229638423

Ответ (Неопределённый)

                                                              /    ___       ___\
  /                                                   ___     |  \/ 3    x*\/ 3 |
 |                                 /     2      \   \/ 3 *atan|- ----- + -------|
 |   x             log(2 + x)   log\4 + x  - 2*x/             \    3        3   /
 | ------ dx = C - ---------- + ----------------- + -----------------------------
 |  3                  6                12                        6              
 | x  + 8                                                                        
 |                                                                               
/                                                                                

$${{\log \left(x^2-2\,x+4\right)}\over{12}}+{{\arctan \left({{2\,x-2 }\over{2\,\sqrt{3}}}\right)}\over{2\,\sqrt{3}}}-{{\log \left(x+2 \right)}\over{6}}$$