Интеграл (x-2)^5 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1            
      /            
     |             
     |         5   
     |  (x - 2)  dx
     |             
    /              
    0              
    01(x2)5dx\int_{0}^{1} \left(x - 2\right)^{5}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=x2u = x - 2.

        Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

        u5du\int u^{5}\, du

        1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

          u5du=u66\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        16(x2)6\frac{1}{6} \left(x - 2\right)^{6}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (x2)5=x510x4+40x380x2+80x32\left(x - 2\right)^{5} = x^{5} - 10 x^{4} + 40 x^{3} - 80 x^{2} + 80 x - 32

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          x5dx=x66\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          10x4dx=10x4dx\int - 10 x^{4}\, dx = - 10 \int x^{4}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x4dx=x55\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}

          Таким образом, результат будет: 2x5- 2 x^{5}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          40x3dx=40x3dx\int 40 x^{3}\, dx = 40 \int x^{3}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x3dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: 10x410 x^{4}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          80x2dx=80x2dx\int - 80 x^{2}\, dx = - 80 \int x^{2}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: 80x33- \frac{80 x^{3}}{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          80xdx=80xdx\int 80 x\, dx = 80 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: 40x240 x^{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          32dx=32x\int -32\, dx = - 32 x

        Результат есть: x662x5+10x480x33+40x232x\frac{x^{6}}{6} - 2 x^{5} + 10 x^{4} - \frac{80 x^{3}}{3} + 40 x^{2} - 32 x

    2. Теперь упростить:

      16(x2)6\frac{1}{6} \left(x - 2\right)^{6}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      16(x2)6+constant\frac{1}{6} \left(x - 2\right)^{6}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    16(x2)6+constant\frac{1}{6} \left(x - 2\right)^{6}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-10000001000000
    Ответ [src]
      1                    
      /                    
     |                     
     |         5           
     |  (x - 2)  dx = -21/2
     |                     
    /                      
    0                      
    212-{{21}\over{2}}
    Численный ответ [src]
    -10.5
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                          
     |                          6
     |        5          (x - 2) 
     | (x - 2)  dx = C + --------
     |                      6    
    /                            
    x662x5+10x480x33+40x232x{{x^6}\over{6}}-2\,x^5+10\,x^4-{{80\,x^3}\over{3}}+40\,x^2-32\,x