Интеграл x-log(x) (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |  (x - log(x)) dx
 |                 
/                  
0                  

$$\int_{0}^{1} x - \log{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \log{\left (x \right )}\, dx = - \int \log{\left (x \right )}\, dx$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Таким образом, результат будет: $- x \log{\left (x \right )} + x$

   Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - x \log{\left (x \right )} + x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x}{2} \left(x - 2 \log{\left (x \right )} + 2\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{2} \left(x - 2 \log{\left (x \right )} + 2\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{2} \left(x - 2 \log{\left (x \right )} + 2\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |  (x - log(x)) dx = 3/2
 |                       
/                        
0                        

$${{3}\over{2}}$$

Численный ответ

1.5

Ответ (Неопределённый)

  /                           2           
 |                           x            
 | (x - log(x)) dx = C + x + -- - x*log(x)
 |                           2            
/                                         

$$-x\,\log x+{{x^2}\over{2}}+x$$