Интеграл (x-1/2)^2 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           2   
 |  (x - 1/2)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x - \frac{1}{2}$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int u^{2}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{3} \left(x - \frac{1}{2}\right)^{3}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x - \frac{1}{2}\right)^{2} = x^{2} - x + \frac{1}{4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - x\, dx = - \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{24} \left(2 x - 1\right)^{3}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{24} \left(2 x - 1\right)^{3}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{24} \left(2 x - 1\right)^{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |           2          
 |  (x - 1/2)  dx = 1/12
 |                      
/                       
0                       

$${{1}\over{12}}$$

Численный ответ

0.0833333333333333

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              3
 |          2          (x - 1/2) 
 | (x - 1/2)  dx = C + ----------
 |                         3     
/                                

$${{x^3}\over{3}}-{{x^2}\over{2}}+{{x}\over{4}}$$