Интеграл (x-1)*e^-x (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |           -x   
 |  (x - 1)*E   dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} e^{- x} \left(x - 1\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int u e^{u} + e^{u}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Результат есть: $u e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x e^{- x}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{- x} \left(x - 1\right) = x e^{- x} - e^{- x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

         $\int u e^{u}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- x e^{- x} - e^{- x}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - e^{- x}\, dx = - \int e^{- x}\, dx$

         1. пусть $u = - x$.

            Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

            $\int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- e^{- x}$

         Таким образом, результат будет: $e^{- x}$

      Результат есть: $- x e^{- x}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x e^{- x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |           -x        -1
 |  (x - 1)*E   dx = -e  
 |                       
/                        
0                        

$$-{{E\,\log E-E+1}\over{E\,\left(\log E\right)^2}}$$

Численный ответ

-0.367879441171442

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                           
 |          -x             -x
 | (x - 1)*E   dx = C - x*e  
 |                           
/                            

$${{1}\over{E^{x}\,\log E}}-{{\left(\log E\,x+1\right)\,e^ {- \log E \,x }}\over{\left(\log E\right)^2}}$$