Интеграл (x-7)*sin(x) (dx)

Вы ввели

  1                  
  /                  
 |                   
 |  (x - 7)*sin(x) dx
 |                   
/                    
0                    

$$\int_{0}^{1} \left(x - 7\right) \sin{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = x - 7$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \cos{\left (x \right )}\, dx = - \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \sin{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x - 7\right) \sin{\left (x \right )} = x \sin{\left (x \right )} - 7 \sin{\left (x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \cos{\left (x \right )}\, dx = - \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \sin{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 7 \sin{\left (x \right )}\, dx = - 7 \int \sin{\left (x \right )}\, dx$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $7 \cos{\left (x \right )}$

      Результат есть: $- x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} + 7 \cos{\left (x \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\left(- x + 7\right) \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(- x + 7\right) \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\left(- x + 7\right) \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                           
  /                                           
 |                                            
 |  (x - 7)*sin(x) dx = -7 + 6*cos(1) + sin(1)
 |                                            
/                                             
0                                             

$$\sin 1+6\,\cos 1-7$$

Численный ответ

-2.91671517998327

Ответ (Неопределённый)

  /                                                
 |                                                 
 | (x - 7)*sin(x) dx = C - (-7 + x)*cos(x) + sin(x)
 |                                                 
/                                                  

$$\sin x-x\,\cos x+7\,\cos x$$