Интеграл (x-3)^4 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |         4   
 |  (x - 3)  dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \left(x - 3\right)^{4}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x - 3$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int u^{4}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{5} \left(x - 3\right)^{5}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x - 3\right)^{4} = x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 12 x^{3}\, dx = - 12 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 3 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 54 x^{2}\, dx = 54 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $18 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 108 x\, dx = - 108 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 54 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 81\, dx = 81 x$

      Результат есть: $\frac{x^{5}}{5} - 3 x^{4} + 18 x^{3} - 54 x^{2} + 81 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{5} \left(x - 3\right)^{5}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{5} \left(x - 3\right)^{5}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{5} \left(x - 3\right)^{5}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |         4           
 |  (x - 3)  dx = 211/5
 |                     
/                      
0                      

$${{211}\over{5}}$$

Численный ответ

42.2

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                          5
 |        4          (x - 3) 
 | (x - 3)  dx = C + --------
 |                      5    
/                            

$${{x^5}\over{5}}-3\,x^4+18\,x^3-54\,x^2+81\,x$$