Интеграл (x+4)^2 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1            
      /            
     |             
     |         2   
     |  (x + 4)  dx
     |             
    /              
    0              
    01(x+4)2dx\int_{0}^{1} \left(x + 4\right)^{2}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=x+4u = x + 4.

        Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

        u2du\int u^{2}\, du

        1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

          u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        13(x+4)3\frac{1}{3} \left(x + 4\right)^{3}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (x+4)2=x2+8x+16\left(x + 4\right)^{2} = x^{2} + 8 x + 16

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

          x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          8xdx=8xdx\int 8 x\, dx = 8 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: 4x24 x^{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          16dx=16x\int 16\, dx = 16 x

        Результат есть: x33+4x2+16x\frac{x^{3}}{3} + 4 x^{2} + 16 x

    2. Теперь упростить:

      13(x+4)3\frac{1}{3} \left(x + 4\right)^{3}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      13(x+4)3+constant\frac{1}{3} \left(x + 4\right)^{3}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    13(x+4)3+constant\frac{1}{3} \left(x + 4\right)^{3}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-10001000
    Ответ [src]
      1                   
      /                   
     |                    
     |         2          
     |  (x + 4)  dx = 61/3
     |                    
    /                     
    0                     
    613{{61}\over{3}}
    Численный ответ [src]
    20.3333333333333
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                          
     |                          3
     |        2          (x + 4) 
     | (x + 4)  dx = C + --------
     |                      3    
    /                            
    x33+4x2+16x{{x^3}\over{3}}+4\,x^2+16\,x