Интеграл (x+2)/(x+4) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |  x + 2   
 |  ----- dx
 |  x + 4   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x + 2}{x + 4}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 2}{x + 4} = 1 - \frac{2}{x + 4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{2}{x + 4}\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + 4}\, dx$

         1. пусть $u = x + 4$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 4 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left (x + 4 \right )}$

      Результат есть: $x - 2 \log{\left (x + 4 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 2}{x + 4} = \frac{x}{x + 4} + \frac{2}{x + 4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{x + 4} = 1 - \frac{4}{x + 4}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{4}{x + 4}\, dx = - 4 \int \frac{1}{x + 4}\, dx$

            1. пусть $u = x + 4$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x + 4 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- 4 \log{\left (x + 4 \right )}$

         Результат есть: $x - 4 \log{\left (x + 4 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2}{x + 4}\, dx = 2 \int \frac{1}{x + 4}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = x + 4$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x + 4 \right )}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{x + 4} = \frac{1}{x + 4}$

            2. пусть $u = x + 4$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x + 4 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (x + 4 \right )}$

      Результат есть: $x + 2 \log{\left (x + 4 \right )} - 4 \log{\left (x + 4 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x - 2 \log{\left (x + 4 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x - 2 \log{\left (x + 4 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                   
  /                                   
 |                                    
 |  x + 2                             
 |  ----- dx = 1 - 2*log(5) + 2*log(4)
 |  x + 4                             
 |                                    
/                                     
0                                     

$$-2\,\log 5+2\,\log 4+1$$

Численный ответ

0.55371289737158

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                                
 | x + 2                          
 | ----- dx = C + x - 2*log(4 + x)
 | x + 4                          
 |                                
/                                 

$$x-2\,\log \left(x+4\right)$$