Интеграл (x+2)/(x+1) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |  x + 2   
 |  ----- dx
 |  x + 1   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x + 2}{x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 2}{x + 1} = 1 + \frac{1}{x + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      Результат есть: $x + \log{\left (x + 1 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 2}{x + 1} = \frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{x + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

            1. пусть $u = x + 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x + 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x + 1 \right )}$

         Результат есть: $x - \log{\left (x + 1 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2}{x + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = x + 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x + 1 \right )}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x + 1}$

            2. пусть $u = x + 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (x + 1 \right )}$

      Результат есть: $x - \log{\left (x + 1 \right )} + 2 \log{\left (x + 1 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |  x + 2                
 |  ----- dx = 1 + log(2)
 |  x + 1                
 |                       
/                        
0                        

$$\log 2+1$$

Численный ответ

1.69314718055995

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 | x + 2                        
 | ----- dx = C + x + log(1 + x)
 | x + 1                        
 |                              
/                               

$$\log \left(x+1\right)+x$$