Интеграл (x+2)/x^3 (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |  x + 2   
 |  ----- dx
 |     3    
 |    x     
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{3}} \left(x + 2\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{3}} \left(x + 2\right) = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2}{x^{3}}\, dx = 2 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{x^{2}}$

      Результат есть: $- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{3}} \left(x + 2\right) = \frac{x}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}}$

      2. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2}{x^{3}}\, dx = 2 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{x^{2}}$

      Результат есть: $- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1              
  /              
 |               
 |  x + 2        
 |  ----- dx = oo
 |     3         
 |    x          
 |               
/                
0                

$${\it \%a}$$

Ответ (Неопределённый)

  /                     
 |                      
 | x + 2          1   1 
 | ----- dx = C - - - --
 |    3           x    2
 |   x                x 
 |                      
/                       

$$-{{x+1}\over{x^2}}$$