Интеграл (x+2)*log(x+2) (dx)

Вы ввели

  1                      
  /                      
 |                       
 |  (x + 2)*log(x + 2) dx
 |                       
/                        
0                        

$$\int_{0}^{1} \left(x + 2\right) \log{\left (x + 2 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x + 2$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int u \log{\left (u \right )}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = u$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u}{2}\, du = \frac{1}{2} \int u\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{2}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{2} \left(x + 2\right)^{2} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{1}{4} \left(x + 2\right)^{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x + 2\right) \log{\left (x + 2 \right )} = x \log{\left (x + 2 \right )} + 2 \log{\left (x + 2 \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x + 2 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x + 2}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{x^{2}}{2 x + 4}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 2}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{2}}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int -2\, dx = - 2 x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{4}{x + 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

               1. пусть $u = x + 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 2 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $4 \log{\left (x + 2 \right )}$

            Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \log{\left (x + 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4} - x + 2 \log{\left (x + 2 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 \log{\left (x + 2 \right )}\, dx = 2 \int \log{\left (x + 2 \right )}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = x + 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \log{\left (u \right )}\, du$

               1. Используем интегрирование по частям:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

                  Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

                  Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int 1\, du = u$

                  Теперь решаем под-интеграл.

               2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- x + \left(x + 2\right) \log{\left (x + 2 \right )} - 2$

            Метод #2

            1. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x + 2 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

               Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x + 2}$ dx.

               Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, dx = x$

               Теперь решаем под-интеграл.

            2. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{x}{x + 2} = 1 - \frac{2}{x + 2}$

            3. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, dx = x$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int - \frac{2}{x + 2}\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

                  1. пусть $u = x + 2$.

                     Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\log{\left (x + 2 \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left (x + 2 \right )}$

               Результат есть: $x - 2 \log{\left (x + 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 2 x + 2 \left(x + 2\right) \log{\left (x + 2 \right )} - 4$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x + 2 \right )} - \frac{x^{2}}{4} - x + 2 \left(x + 2\right) \log{\left (x + 2 \right )} - 2 \log{\left (x + 2 \right )} - 4$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{4} \left(x + 2\right)^{2} \left(2 \log{\left (x + 2 \right )} - 1\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{4} \left(x + 2\right)^{2} \left(2 \log{\left (x + 2 \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{4} \left(x + 2\right)^{2} \left(2 \log{\left (x + 2 \right )} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                  
  /                                                  
 |                            5              9*log(3)
 |  (x + 2)*log(x + 2) dx = - - - 2*log(2) + --------
 |                            4                 2    
/                                                    
0                                                    

$${{9\,\log 3}\over{2}}-2\,\log 2-{{5}\over{4}}$$

Численный ответ

2.3074609378866

Ответ (Неопределённый)

  /                                   2          2           
 |                             (x + 2)    (x + 2) *log(x + 2)
 | (x + 2)*log(x + 2) dx = C - -------- + -------------------
 |                                4                2         
/                                                            

$$\left({{x^2}\over{2}}+2\,x\right)\,\log \left(x+2\right)+2\,\log \left(x+2\right)-{{x^2+4\,x}\over{4}}$$