Интеграл (x+2)^4 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |         4   
 |  (x + 2)  dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \left(x + 2\right)^{4}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x + 2$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int u^{4}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{5} \left(x + 2\right)^{5}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x + 2\right)^{4} = x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 8 x^{3}\, dx = 8 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $2 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 24 x^{2}\, dx = 24 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $8 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 32 x\, dx = 32 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $16 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 16\, dx = 16 x$

      Результат есть: $\frac{x^{5}}{5} + 2 x^{4} + 8 x^{3} + 16 x^{2} + 16 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{5} \left(x + 2\right)^{5}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{5} \left(x + 2\right)^{5}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{5} \left(x + 2\right)^{5}+ \mathrm{constant}$

Численный ответ

42.2

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                          5
 |        4          (x + 2) 
 | (x + 2)  dx = C + --------
 |                      5    
/                            

$${{x^5}\over{5}}+2\,x^4+8\,x^3+16\,x^2+16\,x$$