Интеграл (x+1)/(1-x) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |  x + 1   
 |  ----- dx
 |  1 - x   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x + 1}{- x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x + 1$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u} \left(u - 2\right)\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u} \left(u - 2\right) = 1 - \frac{2}{u}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{2}{u}\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left (u \right )}$

         Результат есть: $u - 2 \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x - 2 \log{\left (- x + 1 \right )} + 1$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 1}{- x + 1} = -1 - \frac{2}{x - 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int -1\, dx = - x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{2}{x - 1}\, dx = - 2 \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left (x - 1 \right )}$

      Результат есть: $- x - 2 \log{\left (x - 1 \right )}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 1}{- x + 1} = \frac{x}{- x + 1} + \frac{1}{- x + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{- x + 1} = -1 - \frac{1}{x - 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int -1\, dx = - x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{x - 1}\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

            1. пусть $u = x - 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x - 1 \right )}$

         Результат есть: $- x - \log{\left (x - 1 \right )}$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = - x + 1$.

            Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \log{\left (- x + 1 \right )}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{- x + 1} = - \frac{1}{x - 1}$

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{x - 1}\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

            1. пусть $u = x - 1$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x - 1 \right )}$

      Результат есть: $- x - \log{\left (- x + 1 \right )} - \log{\left (x - 1 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x - 2 \log{\left (- x + 1 \right )} + 1+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x - 2 \log{\left (- x + 1 \right )} + 1+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |  x + 1                 
 |  ----- dx = oo + 2*pi*I
 |  1 - x                 
 |                        
/                         
0                         

$${\it \%a}$$

Численный ответ

87.181913572439

Ответ (Неопределённый)

  /                                   
 |                                    
 | x + 1                              
 | ----- dx = 1 + C - x - 2*log(1 - x)
 | 1 - x                              
 |                                    
/                                     

$$-x-2\,\log \left(x-1\right)$$