Интеграл (x+1)/(x-3) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |  x + 1   
 |  ----- dx
 |  x - 3   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x + 1}{x - 3}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 1}{x - 3} = 1 + \frac{4}{x - 3}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{4}{x - 3}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

         1. пусть $u = x - 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 3 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $4 \log{\left (x - 3 \right )}$

      Результат есть: $x + 4 \log{\left (x - 3 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 1}{x - 3} = \frac{x}{x - 3} + \frac{1}{x - 3}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{x - 3} = 1 + \frac{3}{x - 3}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3}{x - 3}\, dx = 3 \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

            1. пусть $u = x - 3$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 3 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $3 \log{\left (x - 3 \right )}$

         Результат есть: $x + 3 \log{\left (x - 3 \right )}$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = x - 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 3 \right )}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x - 3} = \frac{1}{x - 3}$

         2. пусть $u = x - 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 3 \right )}$

      Результат есть: $x + 3 \log{\left (x - 3 \right )} + \log{\left (x - 3 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + 4 \log{\left (x - 3 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + 4 \log{\left (x - 3 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                   
  /                                   
 |                                    
 |  x + 1                             
 |  ----- dx = 1 - 4*log(3) + 4*log(2)
 |  x - 3                             
 |                                    
/                                     
0                                     

$$-4\,\log 3+4\,\log 2+1$$

Численный ответ

-0.621860432432658

Ответ (Неопределённый)

  /                                
 |                                 
 | x + 1                           
 | ----- dx = C + x + 4*log(-3 + x)
 | x - 3                           
 |                                 
/                                  

$$x+4\,\log \left(x-3\right)$$