Интеграл (x+1)/(x+2) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |  x + 1   
 |  ----- dx
 |  x + 2   
 |          
/           
0           

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x + 1}{x + 2}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 1}{x + 2} = 1 - \frac{1}{x + 2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{x + 2}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

         1. пусть $u = x + 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x + 2 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x + 2 \right)}$

      Результат есть: $x - \log{\left(x + 2 \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 1}{x + 2} = \frac{x}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{x + 2} = 1 - \frac{2}{x + 2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{2}{x + 2}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

            1. пусть $u = x + 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x + 2 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

         Результат есть: $x - 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

      1. пусть $u = x + 2$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(x + 2 \right)}$

      Результат есть: $x + \log{\left(x + 2 \right)} - 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x - \log{\left(x + 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x - \log{\left(x + 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

1 - log(3) + log(2)

$$- \log{\left(3 \right)} + \log{\left(2 \right)} + 1$$

=

=

1 - log(3) + log(2)

$$- \log{\left(3 \right)} + \log{\left(2 \right)} + 1$$

Численный ответ

0.594534891891836

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 | x + 1                        
 | ----- dx = C + x - log(2 + x)
 | x + 2                        
 |                              
/                               

$$\int \frac{x + 1}{x + 2}\, dx = C + x - \log{\left(x + 2 \right)}$$

График